CCXLV

Ülesanne 1.

Vastus: Kastis on üks punane õhupall.
Lahendus: Kuna kastis on kahte värvi õhupalle ja et kahest pimesi välja võetud pallist, vähemalt üks on alati kollane, siis ei ole võimalik, et kastis oleks punaseid palle kaks või rohkem.

Ülesanne 2.

Vastus: KOlmanda külje pikkus on 3 cm.
Lahendus: Olgu kolmanda külje pikkus a. Kolmnurga võrratuse kohaselt 3,14–0,67

Ülesanne 3.

Vastus: Selliseid kolmekohalisi arve on 42.
Lahendus: Numbrite 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9 seast on võimalik valida 7 erinevat kolmikut, mille moodustavad kolm järjestikust numbrit: (1, 2, 3), (2, 3,4), (3, 4, 5), (4, 5, 6), (5, 6, 7), (6, 7, 8) ja (7, 8, 9). Ühte kolmikusse kuuluvatest numbritest on võimalik moodustada 6 erinevat kolmekohalist arvu. Näiteks: 123, 132, 231, 213, 321, 312.
Seega selliseid kolmekohalisi arve saab moodustada 6·7=42.
Arvude paarid, millede summa koosneb ka kolmest järjestikusest numbrist on: 123+534=657, 132+543=675, 231+345=576,213+354=567, 312+453=765, 321+435=756. Järgnevaid paare saab moodustada
a) liites eelnevalt saadud võrdustes ühele liidetavale 111.
Näiteks võrdusest 123+534=657 saame, et 234+534=768 ja 123+645=768.
b) liites eelnevalt saadud võrdustes ühele liidetavale 222.
Näiteks võrdusest 123+534=657 saame, et 345+534=879 ja 123+756=879.
c) liites eelnevalt saadud võrdustes kummalegi liidetavale 111.
Näiteks võrdusest 123+534=657 saame, 234+645=879

Ülesanne 4.

Vastus: Lõpp-punkti asukoht on (523;1507).
Lahendus: Kui alguspunkti koorinaadid on (a;b), siis pärast 5. käiku on (a+1;b-2),
pärast 9. käiku on (a+2;b-3).
Seega pärast (4k+1). käiku on lõpp-punkti koordinaadid (a+k; b-(k+1)). Seega kui alguspunkt on (20;2011) ja tehakse 2013=4·503+1 käiku, siis lõpp-punkti asukoht on
(20+503;2011-(503+1),
mis on (503;1507).